Atividade de retas e circunferências
1-)Determine
a equação reduzida da circunferência de centro C e raio R nos seguintes casos:
a)C(0,-2)
e R = 4
(x
- 0)2 + (y-(-2))2 = 42
x2
+ (y+2)2 = 16
b)
C(-1,-4) e R =
(x
- (-1))2 + (y-(-4))2 =
(x+1)2
+ (y+4)2 = 2
d)
C(0,0) e R = 1
(x
- 0)2 + (y-0))2 = 12
x2
+ y2 = 1
e)
C(-3,6) e D = 8
R
= 4
(x
- (-3))2 + (y-6))2 = 42
(x+3)2
+ (y-6)2 = 16
2-)Determine
a equação reduzida da circunferência de centro C e que passa pelos ponto P, nos
seguintes casos.
a)C(2,1)
e P(-1,3)
a
= 2 b= 1 x = -1 y = 3
R2
= (x - a)2 + (y - b)2
R2
= (-1 - 2)2 + (3 - 1)2
R2
= (-3)2 + (2)2
R2
= 9 + 4 = 13
R2
= 13
Substitui novamente na equação
reduzida:
R2 = (x - a)2 + (y - b)2
13
= (x - 2)2 + (y - 1)2
b)
C(3,1) e P(5,1)
a
= 3 b= 1 x = 5
y = 1
R2
= (x - a)2 + (y - b)2
R2
= (5 - 3)2 + (1- 1)2
R2
= (2)2
R2
= 4
Substitui novamente na equação
reduzida:
R2 = (x - a)2 + (y - b)2
4
= (x - 3)2 + (y - 1)2
3-)
Determinar as equação geral da circunferência de centro C (3, 5) e R = 2.
a
= 3 b= 5 R = 2 x2
+ y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - R2 = 0
x2
+ y2 - 2(3)x - 2(5)y + (3)2 + (5)2 - (2)2
= 0
x2
+ y2 - 6x -10y + 9 + 25 - 4 = 0
x2 + y2 - 6x
-10y + 30 = 0
4-)
Determinar o centro C e o raio R, da circunferência de equação: (x – 3)2
+ (y – 5 )2 = 25
25
= (x – 3)2 + (y – 5 )2
R2
= (x - a)2 + (y - b)2
R2 = 25 -a = -3 -b = -5
R = 5 a = 3 b = 5
C(3,
5) e R = 5
5-)
Determine o centro e o raio da circunferência x2 + (y + 2)2
= 16
16
= x 2 + (y+ 2 )2
R2
= (x - a)2 + (y - b)2
R2 = 16 -a = 0 -b = +2
R = 4 a = 0 b = -2
C(0,
-2) e R = 4
6-)
Determine o centro e o raio da circunferência x2 + y2 + 3x + 2y - 13
= 0
x2
+ y2 + 3x +
2y - 13 = 0
x2
+ y2 - 2ax - 2by + c = 0
-2a
= +3 -2b = +2 c = -13
a
= -3/2 b = -1 c = a2 + b2 - R2
- 13 = (-3/2)2 + (-1)2 - R2
- 13 = 9/4 + 1 - R2
- 13 = 13/4 - R2
R2 = 65/4
7-) Em que pontos a circunferência x2
+ y2 = 4 corta o eixo Ox?
C(0,0) e o
raio = 2
Logo
corta o eixo x nos pontos (-2,0) e (2,0)
8-)
Escreva a equação geral da
circunferência representada em cada gráfico:
a)
C(2,2) e R = "raiz quadrada de 2"
x2
+ y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - R2 = 0
x2
+ y2 - 2(2)x - 2(2)y + (2)2 + (2)2 - ("raiz quadrada de 2" )2
= 0
x2
+ y2 - 4x - 4y + 6 = 0
b)
C(-3,0) e R = 3
x2
+ y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - R2 = 0
x2
+ y2 - 2(-3)x - 2(0)y + (-3)2 + (0)2 - (3)2
= 0
x2
+ y2 +6x = 0
c) Os quadradinhos representam "raiz quadrada de 2"
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - R2 = 0
x2 + y2 - 2("raiz quadrada de 2" )x - 2("raiz quadrada de 2" )y + "raiz quadrada de 2" ("raiz quadrada de 2" )2 + ("raiz quadrada de 2" )2 - ("raiz quadrada de 2" )2 = 0
x2 + y2 +2x - +2y + 2 = 0
d)
R2 = 13
x2
+ y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - R2 = 0
x2
+ y2 - 2(-3)x - 2(2)y + (-3)2 + (2)2 - (13) =
0
x2
+ y2 +6x - 4y = 0
e) C(0,0) e R ="raiz quadrada de 5"
x2 + y2 - 2ax -
2by + a2 + b2 - R2 = 0
x2
+ y2 - 2(0)x - 2(0)y + (0)2 + (0)2 - ("raiz quadrada de 5" )2
= 0
x2
+ y2 -5 = 0
9-)A
equação da circunferência que tangencia as retas x + y = 0 e x + y = 8 e que
passa pelo ponto (0; 0), de R ="raiz quadrada de 10" e C(1,3)
a) 2 . x2 + 2y2 -
4x - 4y = 0 x2 + y2 - 2ax -
2by + a2 + b2 - R2 = 0
c) x2 + y2 - 4x - 4y = 0 x2 + y2 - 2x - 6y
= 0
d) x2 + y2 + 4x +
4y = 0
e) n.d.a.
e) n.d.a.
10-) Se M é o ponto médio do segmento AB e P é o ponto médio do segmento OM, determinar a equação da circunferência de centro P e raio OP.
Ponto
médio de AB = (2,2)
Ponto
médio de OM = (1,1)
O
ponto P(1,1) e R =
R2
= (x - a)2 + (y - b)2
2 = (x - 1)2 + (y - 1)2
11-)
Quais das equações seguintes representam uma circunferência:
a) x2 + y2
+ 2x – 3 = 0
D
= 2 E = 0 F = -3
D2 + E2 - 4.A.F > 0
(2)2
+ (0)2 - 4.1.-3 > 0
4
+12 >0
16
> 0 Verdadeiro é uma circunferência.
b) x2 + y2
– 2xy
+ 4x – 2y – 8 = 0 .Não é uma circunferência.
d)
x2 + y2 – 4x – 6y + 16 = 0
D
= -4 E = -6 F = 16
D2
+ E2 - 4.A.F > 0
(-4)2
+ (-6)2 - 4.1.16 > 0
16
+ 63 - 64 >0
79
- 64 > 0
15
> 0 Verdadeiro é uma circunferência.
e)
2x2 + y2 - 2x + 6y – 4 = 0 Não é uma circunferência.
12-)
Para que a equação mx2
+ 4y2 + 8x + 12y + 14 = 0 represente uma circunferência devemos ter:
a) m = 8
b) m = 4 4x2 + 4y2 + 8x + 12y + 14 =
0 (:4)
c) m = 12
x2 + y2 +
2x + 3y + 14/4 = 0
d) m = 2
e) m = 6
13-) Determine a área da região
sombreada abaixo:
Área do triângulo
equilátero Área de uma
circunferência completa
4."raiz quadrada de 3" A = π.r2
A = 4π cm2
retirando as 3 partes de dentro do triangulo a
circunferencia fica divida ao meio logo a sua área será de A = 2π = 2.3,14 =
6,28 cm2
A área sombreada = 4."raiz quadrada de 3" - 6,28 = 4.(1,73) - 6,28 = 0,64 cm2
14-) Observe a figura e resolva.
a) Determine a equação reduzida
da circunferência de centro C(0,4),
R2
= (x - a)2 + (y - b)2
16
= (x - 0)2 + (y - 4)2
16
= x 2 + (y - 4)2
b)Determine a equação da reta s.
m = tg 45° = 1 (y - y0) = m (x - x0)
A(4,4) (y - 4) = 1( x - 4)
y =
x
c)Calcule a área sombreada.
Área sombreada = área de 1/4 da circunferência - área do triangulo
A = 4π - 8
A = 4.(3,14) - 8
A = 4,56 u.a
